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第53位  フラクタル - 2018年12月07日


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フラクタル
フラクタル(仏: fractale, 英: fractal)は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語 fractus から。 図形の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう。 定義 フラクタルの特徴は直感的には理解できるものの、数学的に厳密に定義するのは非常に難しい。マンデルブロはフラクタルを「ハウスドルフ次元が位相次元を厳密に上回るような集合」と定義した。完全に自己相似なフラクタルにおいては、ハウスドルフ次元はミンコフスキー次元と等しくなる。 フラクタルを定義する際の問題には次のようなものがある。 「不規則すぎること」に正確な意味が存在しない。 「次元」の定義が唯一でない。 物体が自己相似である方法がいくつも存在する。 全てのフラクタルが再帰的に定義されるとは限らない。 フラクタルの具体的な例としては、海岸線の形などが挙げられる。一般的な図形は複雑に入り組んだ形状をしていても、拡大するに従ってその細部は変化が少なくなり、滑らかな形状になっていく。 (Wikipedia:フラクタル)

フラクタル幾何
フラクタル幾何(フラクタルきか)とは、簡単に言えば「どんなに拡大しても複雑な図形」のことをさす。フラクタル図形とも呼ばれる。 フラクタル幾何に関する理論は、そのほとんどが一人の数学者ブノワ・マンデルブロ(Benoit Mandelbrot)によって創作された。彼は海岸線やひび割れの形、樹木の枝分かれなどに見られる複雑な図形を数学的に理論化した。 定義 正確に定義するならば、集合 K がフラクタルであるとは、K の位相次元 dimT(K)と K のハウスドルフ次元 dimH(K) に対して、 dimT(K) < dimH(K)が成り立つことである。一般の図形では、 dimT(K) ≤ dimH(K)が成り立つことが知られている。 集合 K がフラクタルであるとき一般に dimH(K) は 0 以上の実数値になり、その値を K のフラクタル次元と呼ぶ。 自己相似図形 フラクタル次元、ひいてはハウスドルフ次元の計算は一般にはとても大変である。しかし自己相似図形と呼ばれる図形に対しては簡単な計算法がある。 (Wikipedia:フラクタル幾何)

フラクタル幾何学
『フラクタル幾何』より : フラクタル幾何(フラクタルきか)とは、簡単に言えば「どんなに拡大しても複雑な図形」のことをさす。フラクタル図形とも呼ばれる。 フラクタル幾何に関する理論は、そのほとんどが一人の数学者ブノワ・マンデルブロ(Benoit Mandelbrot)によって創作された。彼は海岸線やひび割れの形、樹木の枝分かれなどに見られる複雑な図形を数学的に理論化した。 定義 正確に定義するならば、集合 K がフラクタルであるとは、K の位相次元 dimT(K)と K のハウスドルフ次元 dimH(K) に対して、 dimT(K) < dimH(K)が成り立つことである。一般の図形では、 dimT(K) ≤ dimH(K)が成り立つことが知られている。 集合 K がフラクタルであるとき一般に dimH(K) は 0 以上の実数値になり、その値を K のフラクタル次元と呼ぶ。 自己相似図形 フラクタル次元、ひいてはハウスドルフ次元の計算は一般にはとても大変である。しかし自己相似図形と呼ばれる図形に対しては簡単な計算法がある。 (Wikipedia:フラクタル幾何学)


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